Leistungskurs Mathematik (Sachsen): Abiturprüfung 2018
Teil B2




Die Abbildung zeigt ein Modell eines Obelisken. Im verwendeten kartesischen Koordinatensystem
(1 Längeneinheit entspricht 1 Meter) beschreibt die xy-Ebene den ebenen Untergrund, auf dem der Obelisk steht. Das Modell des Obelisken besteht aus zwei Teilkörpern. Der untere Teilkörper ABCDEFGH mit B (0,45 | 0,45 | 0,00) ist ein Stumpf einer geraden Pyramide. Dieser Stumpf entsteht, indem man von einer geraden Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche parallel zur Grundfläche eine kleinere Pyramide abschneidet. Die Grundfläche ABCD des unteren Teilkörpers liegt in der xy-Ebene, der Mittelpunkt des Quadrats ABCD ist der Koordinatenursprung. Der obere Teilkörper EFGHSt mit E (0,35 | -0,35 | 7,16) ist eine gerade Pyramide mit der Spitze St (0,00 | 0,00 | 7,16+t) mit  tϵR und t>0.
 Abb. 1: nicht maßstäblich

2.1 ANTWORT
Ermittle die Länge einer Diagonalen der Grundfläche des unteren Teilkörpers. Begründe, dass der Punkt F die Koordinaten F (0,35 | 0,35 | 7,16) hat. Berechne die Grösse des Neigungswinkels einer Seitenkante des unteren Teilkörpers gegenüber der xy-Ebene.
(9 BE)
2.2 ANTWORT    
Es gibt Ebenen, zu denen das Modell des Obelisken symmetrisch ist. Entscheide für jede der folgenden Gleichungen I bis IV, ob sie eine derartige Ebene beschreibt.

Begründe für eine der Gleichungen I bis IV, dass sie keine derartige Ebene beschreibt.
(5 BE)

2.3  ANTWORT  
Zeige, dass die Seitenfläche EFSt in der Ebene Ԑ mit der Gleichung Ԑ :tx + 0,35z = 0,35t +2,506 liegt. Die Seitenfläche FGSt liegt in der Ebene ղ mit der Gleichung ղ: ty +0,35z = 0,35t +2,506. Bestimme den Wert t für welchen die Ebenen Ԑ und ղ einen Winkel von 80˚ einschliessen.
(8 BE)
2.4  ANTWORT  
Berechne den Flächeninhalt der Mantelfläche des oberen Teilkörpers EFGHSt in Abhängigkeit t.
(6 BE)

2.5  ANTWORT  
Die Schattenbildung des Obelisken wird am Modell untersucht. Dabei wird auftreffendes Sonnenlicht durch zueinander parallele Geraden mit dem Richtungsvektor  dargestellt. Für diesen Fall gibt es Werte von t, so dass die Spitze St des

Obelisken einen Schatten auf die xy-Ebene wirft. Es gibt einen Wert t, für den dieser Schatten 5,10 Meter vom Punkt B entfernt ist. Ermittle diesen Wert t.
(5 BE)
2.6  ANTWORT  
Ein Miniaturmodell des Obelisken befindet sich in der Eingangshalle einer Kunstausstellung. Der Anteil der Kunstexperten unter den Besuchern dieser Kunstausstellung sei a.
Betrachtet wird folgendes Ereignis:
Unter fünf zufällig ausgewählten Besuchern des Kunstausstellung befindet sich genau ein Kunstexperte.
Ermittle den Wert a, für den die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis maximal ist.
(3 BE)
2.7  ANTWORT   
Die Kunstausstellung ist in der Nacht mit einer Alarmanlage gesichert. Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Nacht ein Einbruch versucht wird, liegt bei 0,1%. Bei einem Einbruchsversuch in der Nacht schlägt die Anlage mit einer Wahrscheinlichkeit von  98% Alarm. Findet in der Nacht kein Einbruchsversuch statt, kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4% zu einem Alarm.
Betrachtet werden folgende Ereignisse E1 und E2:
E1: „In einer Nacht wird ein Einbruch versucht. “
E2: „In einer Nacht wird ein Alarm ausgelöst. “
Weise nach, dass E1 und E2 stochastisch abhängig sind. In einer Nacht wurde ein Alarm ausgelöst.Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Alarm durch einen Einbruchsversuch ausgelöst wurde.
(6 BE)